On rapporte le plan orienté à un repère orthonormal direct (O,,). L'ensemble des vecteurs du plan est noté V.

Definition

Le module d'un nombre complexe z = a + ib , avec a et b réels, est le nombre réel positif :

Le module de z est noté |z| .

Géométriquement, le module de z est la distance entre l'origine du repère et le point M(z) : |z| =

Remarque :

On déduit facilement de ce qui précède que le module d'un nombre complexe peut s'écrire :

Propriété

Pour tous complexes z et z' de , on a les propriétés suivantes pour le module :

|z|² = z |z| = |-z| = || |zz'| = |z| |z'| |zn| = |z|n

Propriété

Pour tous complexes z et z' de , on a :

|z + z'| < |z| + |z'|

Definition

Pour tout nombre complexe non nul z d'image M, on appelle argument de z l'angle (,).

On note arg(z) l'argument de z :  arg(z) = (,)

Exemple :

Le nombre complexe -2+2i a pour argument 3/4

Théorème

Pour tout couple de réels (r,) , il existe un unique nombre complexe z tel que |z| = r et arg(z) =  . z peut alors s'écrire :

z  =  r (cos   +  i sin  )

Formule

Comme on a, pour tout nombre complexe z non nul d'argument ,  z = Re(z) + i Im(z)   et   z = |z| ( cos  + i sin ) , on en déduit :

Définition

Soit un nombre complexe z.

z = a + ib  est la forme algébrique de z.

z  =  r (cos   +  i sin  )  est la forme trigonométrique de z.

Propriété

Pour tous complexes z et z' de complexes non nuls, on a :

arg(zz') = arg(z) + arg(z')

Propriété

On a pour tout complexe z non nul d'argument :

arg(-z) =  +

arg() = -

Propriété

Soient deux complexes z non nuls z et z' d'arguments respectifs et '.

On a z = z' si et seulement si |z| = |z'| et = '