Définition

La fonction logarithme népérien est définie sur l'intervalle ]0;+[.

Sur cet intervalle, la fontion logarithme népérien est la primitive, nulle en 1, de la fonction x 1/x .

La fonction logarithme népérien est notée ln.

Propriété

La fonction ln est dérivable sur ]0;+[ et on a, pour tout x > 0,  ln'(x) = 1/x .

Propriété

ln(1) = 0

Propriété

La fonction ln est strictement croissante sur ]0;+[.

ln x > ln y         x > y

ln x < ln y         x < y

ln x > 0         x > 1   (car ln 1 = 0)

ln x < 0         0 < x < 1

Théorème   Relation fondamentale

Pour tous réels a > 0 et b > 0 ,     ln(ab) = ln(a) + ln(b)

Propriété

Pour tous réels a > 0 et b > 0 ,

ln(a/b) = ln(a) - ln(b)

ln(1/b) = -ln(b)

Propriété

Pour tous réels a1 > 0 , a2 > 0 , ... , ap > 0 , on a :

ln(a1a2...ap)  =  ln(a1) + ln(a2) + ... + ln(ap)

Propriété

Pour tout réel a > 0 et tout entier relatif k, on a :

ln(ak)  =  k ln(a)

Remarque :

ln(x²) est défini pour tout réel x non nul. Or on a  ln(x²) = 2 ln(x)  et ln(x) est défini pour x > 0 ! Il faut donc écrire :

pour x > 0 , ln(x²) = 2 ln(x)

pour x < 0 , ln(x²) = 2 ln(-x)

Dans l'énoncé de la propriété précédente, la condition a > 0 est donc très importante ... attention donc, quand vous rédigez à ce que tout soit bien correct en terme de domaine de définition !

Propriété

Pour tout réel a > 0, on a :

ln()  =  (ln a)/2

Théorème

Pour tout réel y, il existe un unique réel x > 0 tel que  ln x = y .

La fonction ln réalise donc une bijection de ]0;+[ sur .

Définition

On définit le nombre e par  ln(e) = 1    (e 2,718...).

Ce nombre e est appelé base des logarithmes népériens.

Propriété

On a, pour tout k entier relatif :  ln(ek) = k       (car ln(ek) = k ln(e) = k)

Définition

Pour tout x réel, on définit le nombre ex ("exponentielle de x") comme étant le nombre dont le logarithme népérien est x :

ln(ex) = x

Propriété   Dérivée de  lnu

Soit u une fonction définie sur un intervalle I et à valeur dans + (en effet, il est indispensable d'avoir u(x)>0 pour que (lnu)(x) soit défini).

D'après les théorèmes de dérivation des fonctions composées, on a :

Propriété   Primitive de  u'/u

Soit u une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive sur I de  u'/u  est :

lnu , lorsque u est strictement positive ;

ln(-u) , lorsque u est strictement négative.

Remarque :

On peut également écrire en résumé qu'une primitive de  u'/u  est  ln|u|

Propriété   (a connaître PAR COEUR)